IDEA！：微分和有限微分的差别

我们学习微分的时候，是通过极限的概念来讲的。也就是说，当$\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$的$\mathrm{\Delta }x$取值为无穷小时，刚才的比值就被定义为微分。

那么我们想一下，假如$\mathrm{\Delta }x$取值不能无穷小，而最小只能取某一个有限值$\eta$，则这种比值也能成立，但不是我们所说的微分了，可以叫做有限微分。如果这样定义有限微分，与一般的微分有什么不同呢？首先按照常规的做法，此时，我们有$x_2=x_1+\eta$，微分的定义为

$$\frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{f(x_2)–f(x_1)}{\eta }$$

因此，对于不同的函数，按照这种定义，我们计算出它的有限微分结果，然后与一般的微分结果进行比较。比如对于函数$y=x^2$，有

对于一般结果:

$$y^{\prime }=2x$$

对于有限微分结果:

$$y^{\prime }=\frac{(x_2{)}^2-(x_1{)}^2}{\eta }=\frac{(x_1+\eta {)}^2-(x_1{)}^2}{\eta }=\frac{(x_1{)}^2+2x_1\eta +{\eta }^2-(x_1{)}^2}{\eta }$$

$$=\frac{2x_1\eta +{\eta }^2}{\eta }=2x_1+\eta$$

与一般结果相比较，里面的$x$被$x_1$代替，然后加上了$\eta$。如果$\eta$为0，则回归到一般结果上。

突然感到这个很像微分几何中的联络。联络要求的就是这种平移。但是在数学上，我们认为平移是无穷小的，是无限光滑的。如果在讨论的时候不考虑无穷小这一要求，转而考虑有某一个微小有限量存在，也许联络公式会有所变化呢？

由此，我们可以猜想。当大自然是无穷小的，那么原子会稳定吗？大自然会稳定吗？可否通过因为大自然是稳定的，反推回去最小值$\eta$是多少？也许就是普朗克尺度$l_p$呢？

对于圈量子引力来说，他的做法是不是和这个想法类似呢？我觉得弦理论一定会是错误的，尽管某些观念它很对，但是做法很错误，走入了错误的道路，结果它越走越复杂。无论如何，无穷小是不存在的，取而代之的是有限值。