数学中,海森矩阵Hessian matrix 或 Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵,此函数如下:

f(x_1, x_2, \dots, x_n),

如果 f 所有的二阶导数都存在,那么 f 的海森矩阵即:

H(f)_{ij}(x) = D_i D_j f(x)

其中 x = (x_1, x_2, \dots, x_n),即

H(f) = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\  \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\  \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}
\end{bmatrix}

(也有人把海森定义为以上矩阵的行列式) 海森矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题。

参考文献:http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B5%B7%E6%A3%AE%E7%9F%A9%E9%98%B5

 

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