数学：一维波动方程的推导

一维波动方程可用如下的方式推导：一列质量为m的小质点，相邻质点间用长度h的弹簧连接。弹簧的弹性系数（又称“倔强系数”）为k：

其中u(x) 表示位于x的质点偏离平衡位置的距离。施加在位于x+h 处的质点m 上的力为：

$F_{Newton}=m \cdot a(t)=m \cdot {{\partial^2 \over \partial t^2}u(x+h,t)}$

$F_{Hooke} = F_{x+2h} + F_x = k \left [ {u(x+2h,t) - u(x+h,t)} \right ] + k[u(x,t) - u(x+h,t)]$

其中 $F_{Newton}$ 代表根据牛顿第二定律计算的质点惯性力， $F_{Hooke}$ 代表根据胡克定律计算的弹簧作用力。所以根据分析力学中的达朗贝尔原理，位于x+h 处质点的运动方程为：

$m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]$

式中已注明u(x) 是时间t 的显函数。

若N 个质点间隔均匀地固定在长度L = N h 的弹簧链上，总质量M = N m，链的总体劲度系数为K = k/N，我们可以将上面的方程写为：

${\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^2}$

取极限 N $\rightarrow \infty$ , h $\rightarrow 0$ 就得到这个系统的波动方程：

${\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 }$

在这个例子中，波速 $c = \sqrt {\frac{{KL^2 }}{M}}$ 。

华月凌衍·格物致知·温故知新