物理：相对论性量子力学波动方程——克莱因-戈尔登方程和狄拉克方程

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克莱因-戈尔登方程

薛定谔方程并没有将相对论效应纳入考虑范围内。对于伽利略变换，薛定谔方程是不变的。对于洛伦兹变换，薛定谔方程的形式会改变。为了要涵盖相对论效应，必须修改薛定谔方程。试想能量-动量关系式（energy-momentum relation），

$E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ ；

其中， $c$ 是光速， $m$ 是静止质量。

将这关系式内的能量与动量改为其对应的算符，将整个关系式作用于波函数，可以得到

$- \hbar^2\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = - \hbar^2c^2\nabla^2 \psi + m^2c^4 \psi$ 。

稍加编排，可以得到克莱因-戈尔登方程：

$(\Box^2 + \mu^2) \psi = 0$ ；

其中， $\Box^2 = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2$ 是达朗贝尔算符， $\mu = \frac{mc}{\hbar}$ 。

对于洛伦兹变换，这方程的形式不会改变，是洛伦兹不变式。但是，它是一个时间的二阶微分方程，不能成为波函数的方程。另外，这方程的解拥有正频率和负频率。平面波波函数解的色散关系式为

$\hbar^2\omega^2 - \hbar^2 c^2 k^2 = m^2 c^4$ ；

其中， $\omega$ 是角频率，可以是正值或负值。

对量子力学来说，正负角频率或正负能量，是一个很严峻的问题，因为无法从底端限制能量的最低值。虽然如此，加以适当的诠释，这方程仍旧能够正确地给出零自旋粒子的相对论性波函数。

狄拉克方程

狄拉克方程乃是时间的一阶微分方程，专门描述自旋-½粒子的波函数：

$i \hbar \frac{\partial\psi (\mathbf{r},t)}{\partial t} = \left( \frac{1}{i}\boldsymbol{\alpha \cdot \nabla} +\beta m \right) \psi (\mathbf{r},t)$ ，

其中， $m$ 是自旋-½ 粒子的质量， $\mathbf{r}$ 、 $t$ 分别是空间、时间。

狄拉克方程仍旧存在负能量的解。为了要除去这麻烦的瑕疵，必须把波动方程当作一个量子场的方程，而不是一个波函数的方程。因为，相对论与单粒子图案互不相容。一个相对论性粒子不能被局限于一个小区域，除非粒子的数量变为无穷多。

假设一个粒子被局限于一个长度为 $L$ 的一维盒子里，根据不确定性原理，动量的不确定性 $\Delta p\ge \hbar/L$ 。假若，因为粒子的动量足够的大，质量可以被忽略，则能量的不确定性大约为 $\Delta E\approx\hbar c/L$ 。当盒子的长度 $L$ 等于康普顿波长 $\frac{\hbar}{mc}$ 时，能量的不确定性等于粒子的质能（mass energy） $mc^2$ 。当盒子的长度 $L$ 小于康普顿波长时，无法确定盒子内只有一个粒子，因为用来测量盒子内粒子位置的机制，也可以从制造出更多的粒子。