全文转载自知乎：拓扑场论和二维量子引力 – 知乎 (zhihu.com)

1. 引言

过去几年见证了量子场论技术在研究各种数学问题上丰硕的应用。这个主要归功于Edward Witten的项目，已经找到了量子场论和拓扑与几何量间意想不到的关联。这点的精彩范例是，三维规范理论和二维共形场论中出现了像Jones多项式这样的纽结不变量[1]。直到最近，这些发展也主要是带给我们，要么是新的数学上的不变量，要么是对从量子场论的直觉得到的结果的更好理解。用在这些构造中的量子场论，虽然是更物理的场论的近亲，但没有直接的物理应用。

随着对矩阵模型和一般的二维量子引力的研究，意想不到的转机出现了。一个称为拓扑引力[2]的特殊场论，最初被构造来处理Riemann面模空间的问题，被证明与二维量子引力有密不可分的关联。可将它看成引力的另一个更简单的相，其中关联函数更容易计算。借助矩阵模型在二维引力中取得重大突破[3]后不久，Witten指出量子引力可能不过是拓扑引力的简单微扰[4]。这点现在已经有了坚实的证据，提供了从拓扑引力开始得到所有矩阵模型结果的相当直接的方法[4][5][6][7][8][9]。拓扑引力有个推广，称为拓扑弦论，其中引力与各种物质系统耦合[4]。拓扑弦论可用于描述和解与引力耦合的所有 [14][15]的出现。不过，最后一节才会涉及这点。沿途我们将讨论几何，代数和量子场论间诸多优美的关联。

这份讲义中，描述与E. 和H. Verlinde，以及与E. Witten合作的工作的部分，将基本照着同一主题其它已出版的讲义[16]，但有些地方可能更加友好。这份讲义会和在冬季学校讲的四节课高度一致，也是依此来组织的。在第2节，我们讨论拓扑场论的一些一般性质。我们强调因子化的概念，并应用于二维情形。在第3节，我们考虑拓扑共形场论，它们与 

2. 拓扑场论

拓扑场论由Witten[17][18]引入。（综述可见[19][20]。）本节选取的拓扑场论方法中，我们将直接关注量子场论中有趣的可测量：物理算符的关联函数。这种方法不是从作用量开始，根据路径积分来确定计算关联函数的规则，而是利用理论中巨量的对称性直接计算关联函数。这样就不必处理作用量形式中出现的冗余信息：众所周知，对同一个物理模型，作用量可能不止一个。因此我们的方法有些“自举”的味道，像是D. Gross最喜欢说的“无中生有”，可能会让一些读者不适。按这种精神，我们以一些相当一般的评论开启讨论。

2.1 拓扑不变性

量子场论与几何间的关联，可表述成相当一般的形式。局域量子场论的性质之一，就是可表述在任意形状的时空中。（即使号差是Euclid型或根本未定义时，我们也经常会用“时空”这个词，以提醒读者有可能在局域引入时间流，对时空切片，引入量子态的Hilbert空间和作用在这些态上的Hamiltonian。）研究唯象上有趣的量子场论时，我们不会首先考虑拓扑复杂的时空，因为我们主要关心局域性质，例如不同量子场间的相互作用。然而，在拓扑场论中，重要的只有全局性质，没有模式在传播，考虑任意拓扑的时空至关重要。事实上，时空的拓扑是拓扑场论中少数几个可测量之一。

给定紧 [公式] 维时空流形 [公式] ，以及带一组基本场 [公式] 的拓扑，配分函数 [公式] 中的度规 [公式] 生成。像BRST荷一样， [公式] 是幂零的：

[公式] 不必对应BRST对称性。我们假定模型具有 [公式] 生成的对称性，这就要求真空被 [公式] 湮灭。现在可在整个态的Hilbert空间 [公式] 的上同调类： [公式] -闭的态模去 [公式] -恰当的态。具体将哪个算符取成代表元无关紧要，因为一个众所周知的论证表明，非物理的态（形如 [公式] 当然不足以保证广义协变性，我们还需要另一个重要条件，也就是能动张量 [公式] 维时空 [公式] 的一个类空曲面上作的。这些荷给出平移群的反对易扩张：

[公式] 的自旋是0而不是1/2。

2.2 下降方程

将 [公式] 对称性看成自旋0超对称，会给出丰硕的结果。事实上，理论用“超空间”表述会很方便，这将在模型中自然地给出非局域的可测量。除了时空坐标 [公式] 湮灭 [公式] 像是作用在物理场上的外导数 [公式] ，这点很有用。

从下降方程可以看出两件事。第一，它暗示存在一类新的物理算符。下降方程 [公式] -形式的积分是物理算符，但它们是非局域的，应当看成Wilson圈算符的高维推广。只有 

图1：如果在时空$M$中，两$n$维子流形$C,C^\prime$是$n+1$维流形$S$的边界，那么非局域算符$\int_C \phi^{(n)}$和$\int_{C^\prime} \phi^{(n)}$作为物理可测量是等价的。

第二是可以看出，这些积分算符在多大程度上依赖于在其上积分的子流形。考虑两个子流形 [公式] 和 [公式] 的上同调类。也就是说，对 [公式] 是幂零的，因此这种荷就是构造拓扑场论需要的。这样就可从 [公式] 沿一个类空 [公式] 维曲面 [公式] 。对 [公式] 的边界 [公式] 一致，那么时空 [公式] 会在它的边界对应的Hilbert空间中定义一个特定的态 

图2：如果时空$M$只有一个边界$\Sigma$，量子场论会为$M$赋上Hilbert空间$\mathcal{H}_\Sigma$中的一个态$|M\rangle$。

一般地，我们可以考虑这样的情形： 

图3：在带边界$\Sigma$和$\Sigma^\prime$的时空$M$上的路径积分，会定义一个跃迁振幅$\Phi_M: \mathcal{H}_\Sigma \to \mathcal{H}_{\Sigma^\prime}$。

因子化现在就是这样的性质：如果将 [公式] 沿一个中间切片 

图4：因子化公理要求，如果时空$M$被切成$M_1,M_2$两份，那么相应的跃迁振幅可复合：$\Phi_M=\Phi_{M_2}\circ \Phi_{M_1}$。

需要强调的是，这样的因子化是“物质理论”的特点。引力理论包含对所有度规的积分，不太一样：对度规的路径积分总会包含奇异的度规，这时流形的拓扑会退化。 [公式] 的拓扑因而不是良定义的，这里天真地假定的因子化不再成立。第4节再继续说。

2.6 二维中的拓扑场论

这里我们将考察限制在二维。时空成了世界面，取成一个亏格为 [公式] 的Riemann面 

图5：二维曲面两种可能的因子化：沿平凡的同调闭链(a)，沿非平凡的同调闭链(b)。

因子化的形式通过将 [公式] 是场 

图6：球面上四点函数$\langle \phi_i \phi_j \phi_k \phi_l \rangle$间的对偶给出算符乘积代数的结合律。

可以因子化成 [公式] -道，也可以是 [公式] -道，如图6。结果应当是一样的，这就给出了很强的一致性条件

图7：算符$H=\sum_{i,j} c_i {}^{ij} \phi_j$在曲面$\Sigma$上产生一个柄。

有了因子化的概念，计算更高亏格的配分函数和关联函数就特别简单。事实上，可以引入产生柄的算符 [公式] [4]。通过对应单孔环面的态来定义它，如图7：

[公式] 的配分函数 [公式] 就可写成亏格为零的关联函数

[公式] 是某个常数。这与二维量子引力和弦论中的结果截然不同，那里配分函数与模空间体积有关，表现出著名的双阶乘增长[21]：

[公式] 。这样就很容易计算插入算符积分的关联函数。例如，插入一个2-形式算符积分的四点函数可因子化成

3. 拓扑共形场论

我们已经看到，一般的二维拓扑场论可完全解出，得到用微扰三点函数 [公式] 伙伴 [公式] 对称性。由于共形不变性，这些对称性的生成元可分成正反全纯部分。能动张量分成全纯的 

表1：拓扑共形场论中的守恒流，以及它们的共形维数，荷和统计。

因此我们得到了列在表1中的流多重态。这多重态当然非常像标准的流 [公式] -上同调类中选出了唯一的代表元。这可与常规上同调理论中的调和形式比较。在 [公式] 对称的表达式开始的，这个关联函数就也有这对称性。也就是说，具体将哪三个算符取成0-形式无关紧要。这个广义的 [公式] 虽然不恰当，但由于红外奇点，不产生态。

上面的自由场论可朝两个方向作有趣的推广。第一，我们可以考虑非线性sigma模型，将平坦的复一维时空换成任意的 [公式] 维Ricci-平坦的Kähler流形 [公式] 。用超场写，作用量是

[公式] 是Kähler势， [公式] 和反鬼 [公式] 是必要的。它们的共形自旋分别是2和-1，能动张量是 [公式] Riemann面的模空间 [公式] 。这说明，虽然天真看来为零，关联函数也可在更高亏格定义。不过有些微妙之处。上面的构造高度依赖于，背景荷刚好是 4. 拓扑弦论

现在开始讨论拓扑引力与拓扑弦论。和传统弦论一样，拓扑弦包含与Liouville和鬼场耦合的物质理论。物质部分就是上节讨论的拓扑共形场论。我们已经看到，存在幂零的荷 [公式] 将大幅简化问题。我们的目标是引入一个动力学度规，规范固定后相当于引入一个Liouville型场和鬼，同时保持 [公式] 对称性。讲解时基本照着E. 和H. Verlinde的工作[7][16]。我们从最简单的例子开始解释构造。

4.1 作用量和对称性

我们来重新考察3.3节提到的 [公式] 的拓扑场论，这点被非常小心地保持了。第二，我们在处理一个规范理论，规范掉了能动张量 [公式] 和它的费米伙伴 [公式] 生成的对称性，那就有鬼和它的BRST荷。这BRST荷形如

[公式] 接近点 [公式] 。由于共形对称性，极限情形并不只是标记了单个点的曲面。例如，可在某个局域坐标下将两点参数化成 

图8：如果两被标记的点互相接近，距离$q \to 0$，那么曲面退化。这共形等价于形成一个细长的颈部。在模空间的紧化中，最终的构型是一个标记了三个点的被夹断出去的球面，加上少了一个孔的原来的曲面。

因为带三个孔的球面模空间是零维的，我们在紧化中加入的子空间（复）余维数为1。这点从CFT的角度看相当自然。如果将两算符 

图9：曲面退化的两种不同方式，平凡的同调闭链被夹断(a)，或非平凡的同调闭链被夹断(b)。图中展示了模空间的紧化中加入的曲面。

在这两种情形都很容易验证，加入的曲面模空间是低一维的。

[7]中展示了，纯拓扑引力的关联函数由模空间的边界 [公式] 描述退化成结点的颈部。因子 5. 矩阵模型和KdV层次结构

我们顺利地走到了连接拓扑场论和矩阵模型结果的路上，这也是拓扑引力和 [公式] 标记，描述与 [公式] 衡量（带孔）曲面的总曲率积分。对亏格为 [公式] ，插入 [公式] 个算符的曲面，这是Euler示性数 [公式] 解释成宇宙学常数 [公式] ， [公式] 轴展开，也就是耦合常数 [公式] 取非零的值。这对应单矩阵模型的多重临界点，可以这样看到：我们取两个标度律 

图10：对拓扑引力作微扰能得到的场论空间(a)，和对应的矩阵模型势形变的空间(b)。记号在文中有解释。

因此我们最终得到，从拓扑引力开始能到达的“理论空间”如图10。这是由坐标 [公式] 标记的无穷维向量空间。临界模型可在 [公式] 轴上找到。轴 [公式] 显然是非线性的，但由于精彩的关系 [公式] 和 [公式] 构成了Virasoro代数（的一部分）：

[公式] 模，不会出现中心荷。用容易想到的方式定义负模的话，将发现 [公式] 给出上述微分算符。

要找到多重临界点处的弦运动方程，我们在 [8]。再次考虑满足扭条件的标量

[27]：对边界的变分（左边），要么导致两圈相连，要么导致圈分裂成两部分（右边）。两常数项是亏格为0和1时额外对称性的结果。[28]中从矩阵观点推出了类似的圈方程。

5.4 KdV层次结构

现在讨论，我们写成Virasoro约束的拓扑引力解，如何对应通常写成KdV方程的单矩阵模型解。Brézin和Migdal的讲义中有解释，矩阵模型中根本的方程是所谓的弦方程[14]

[公式] 扮演着和上面相同的角色——它们是算符 [公式] 个矩阵构成的链。他发现了根本的关系

[公式] 由 [公式] 按如下方式定义：首先将 [公式] 的 [公式] 次方根形式上定义成Laurent级数

[公式] 是伪微分算符，这是微分算符的推广，容许导数 [公式] 的负次幂。这些负次幂满足对易关系

[6]。我们的物质部分中有 [公式] 个初级场 [11]优雅地解决了，他跟进Eguchi和Yang[10]，考虑扭 [公式] 环是 

表2：simply-laced Lie群的Dynkin图，Coxeter数$h_G$和指数。

Landau-Ginzburg环结构大幅简化了拓扑场论中的计算。回忆一下，我们想计算如下形式的关联函数：

[公式] 是某个常数。这个方程足够解出算符 [12]）了，大概说一下思路。首先观察到超势

[公式] -约束

我们还只讨论了对应前 [公式] 个KdV流的初级场 参考

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发布于 05-18