<二>量子力学 2.1 关于求轨道角动量分量算符Lx、Ly本征函数求法的思考 – 知乎 (zhihu.com)


我们知道,如果引入球坐标系:

[公式] ,

[公式] ,

[公式] ,

则可将直角坐标系下的轨道角动量算符变换为:

[公式] (2.1.1),

[公式] (2.1.2),

[公式] (2.1.3),

[公式] (2.1.4)。

其中, [公式] 和 [公式] 的本征方程、本征值、共同本征函数(球谐函数 [公式] )为我们所熟知。但是,注意到 [公式] 和 [公式] 亦均与 [公式] 对易,因此我们也一定可以求出 [公式] 和 [公式] 、 [公式] 和 [公式] 的共同本征函数。本文拟在先前给定的坐标系下,讨论这两组本征函数的求解。作者所知道的有以下三种思路。前两种从波动力学的角度出发,最后一种考虑矩阵力学的方法。

思路一:直接计算

首先,我们应该明确,球谐函数 [公式] 既不是 [公式] 的本征函数,也不是 [公式] 的本征函数,因为这两个算符均不与 [公式] 对易。

显然,直接从(2.1.1)、(2.1.2)式出发,求解本征方程,一定可以得到想要的结果,但是计算过程是十分痛苦的。因此,本文不拟在本此方法上花更多笔墨。

思路二:坐标代换

事实上,轨道角动量各个方向的分量是没有区别的。因此,以 [公式] 方向的轨道角动量为例,如果把 [公式] 轴作为原来的 [公式] 轴,其他两轴按右手系规则变换,则一定也可以求出一组球谐函数[公式] 。这时,只要找出 [公式] 、 [公式] 和 [公式] 、 [公式] 的关系即可。

不难证明:

[公式] (2.1.5),

[公式] (2.1.6),

[公式] (2.1.7),

[公式] (2.1.8)。

下面考虑一个简单的例子,求解 [公式] 时 [公式] 的本征函数 [公式] 。

我们知道:

[公式] (2.1.9),

[公式] (2.1.10),

[公式] (2.1.11)。

只需把以上三式的两个坐标进行替换,可得:

[公式]

[公式] (2.1.12),

[公式] (2.1.13),

[公式] (2.1.14)。

同样地,我们可以求出此时 [公式] 的本征函数 [公式] :

[公式] (2.1.15),

[公式] (2.1.16),

[公式] (2.1.17)。

此时,问题已经基本解决。而如果细心观察,我们会发现:

[公式] (2.1.18),

[公式] [公式] (2.1.19),

[公式] (2.1.20),

[公式] (2.1.21),

[公式] (2.1.22),

[公式] (2.1.23)。

从矩阵力学的角度来看,(2.1.18-23)式本质上就是进行了两组幺正变换。这也启发我们接下来用矩阵力学的方法来求解这一问题。

思路三:利用升降算符求出 [公式]、 [公式] 表象下 [公式] 和 [公式] 的矩阵元,进而计算本征函数

这里给出升降算符 [公式] 与 [公式] 的定义:

[公式] (2.1.24),

[公式] (2.1.25),

并定义 [公式] ,其中 [公式] 为任意算符。

关于这两个算符,熟知的结论有:

[公式] (2.1.26),

[公式] (2.1.27),其中 [公式] 和 [公式] 为常数,

[公式] (2.1.28),

[公式]

(2.1.29),且其余矩阵元均为0。

注意到(2.1.29)式中包含了两个算符矩阵元的相角不确定性。这是什么造成的呢?可以发现,在现有背景下,直角坐标系中的 [公式] 平面是可以绕 [公式] 轴任意旋转的。也就是说,最后求出的本征函数,也会因为 [公式] 、 [公式] 轴的选取而出现相角不确定性。事实上,思路二中求出的球谐函数本也应具有相角不确定性的,只是我们在先前求解关于 [公式] 微分方程(本征方程)时已经选择了归一化系数。

不过,在初等量子力学的许多情形中,波函数的相角不确定性并不会影响结果,因而可以视情况任意选择。我们下面不妨先带着相角运算,来体会这一情况。

利用(2.1.28&29),我们令

[公式] (2.1.30),

[公式] (2.1.31)。

那么,由(2.1.24&25)可得:

[公式]

[公式] (2.1.32),

[公式] (2.1.33),

[公式] (2.1.34),

[公式] (2.1.35),

其余矩阵元均为0。下面仍考虑 [公式] 的简单情况。

将 [公式] 简记为 [公式] ,那么可知

[公式] [公式], [公式] ,

[公式] , [公式] ,

[公式] , [公式] ,

[公式] , [公式] 。

如果令 [公式] , [公式] , [公式] ,

那么,对于 [公式] 的本征函数,考虑本征方程

[公式] (2.1.36),

容易解出一组本征值与本征函数:

[公式] , [公式] (2.1.37),

[公式] , [公式] (2.1.38),

[公式] , [公式] (2.1.39),

其中 [公式] 为任意常数。显然,(2.1.37-39)的结果与前面(2.1.18-20)的结果是等价的。因为只要把(2.1.37-39)三式中的相角取0,再取适当的 [公式] 进行归一化,即得(2.1.18-20)三式的结果。另一组本征函数的求解方法类似,考虑到此处篇幅已经很长,不再赘述。

小结:

至此,我们采取了波动力学和矩阵力学两种方法,从一个简单的例子出发,求除了轨道角动量分量算符 [公式] 、 [公式] 的本征函数。作者个人认为,矩阵力学的方法更加明确地揭示了问题的本质:1.轨道角动量三个方向分量的算符两两不对易,因而它们不可能有一组共同的本征函数集;2.轨道角动量三个方向分量的算符均与轨道角动量平方算符 [公式] 对易,因而它们分别与 [公式] 有一组共同的本征函数,这三组本征函数可以通过幺正变换联系在一起。有了这样的想法前提,采用矩阵力学的方法是十分自然的。同时,矩阵力学的方法在此问题中也发挥出了特有的优势:无需考虑球谐函数 [公式] 的具体形式。

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