转载自：算符构成的矢量的对易运算 – 知乎 (zhihu.com)
这篇文章是为了解决 @正樹 在正樹：矢量算符的对易子中的乘积究竟是什么运算?中提出的问题，但是并没有解决这个问题，只是写了一些想法。
对易子 在矢量运算中可以直接看作为
参与运算，却并没有找到这个运算的数学意义_(:з」∠)_。
,
为两个以算符为分量的向量,
，
为算符,
算符间的对易子为 ,其对应矩阵为
。
并矢 ，其对应矩阵为
。
，其对应矩阵为
。
在并矢运算中交换 ,
的顺序不只交换了算符
，
的作用顺序，同时也改变了结果中元素在矩阵中的位置。也就是说，
项本应与
项做差，但对换并矢运算中两矢量顺序的结果是使
与
项做差，即
，对应矩阵
。
由此可以看出 与
的不同。
用一个转置可以得到 ,
这样 。
注意这里的转置只变换元素 在并矢矩阵中的顺序，而不会使元素
变为对应的转置算符
.
如果 ，
可以用矩阵表示，那么它们的分量形式为
，
，
为态矢空间的一组基底。
可以看出这种转置是对下标 ，
进行的，而不对换算符内部的指标
，
，即不会转置算符本身。
如果 这种形式如果要运用到计算中可以直接看做为
。实际上这也就是
的分量形式。