转载自:算符构成的矢量的对易运算 – 知乎 (zhihu.com)


这篇文章是为了解决 @正樹 在正樹:矢量算符的对易子中的乘积究竟是什么运算?中提出的问题,但是并没有解决这个问题,只是写了一些想法。

对易子 [公式] 在矢量运算中可以直接看作为 [公式] 参与运算,却并没有找到这个运算的数学意义_(:з」∠)_。

[公式][公式] 为两个以算符为分量的向量, [公式] ,[公式] [公式] 为算符,

算符间的对易子为 [公式],其对应矩阵为 [公式] 。

并矢 [公式] ,其对应矩阵为 [公式] 。

[公式] ,其对应矩阵为 [公式] 。

在并矢运算中交换 [公式] ,[公式] 的顺序不只交换了算符[公式] ,[公式][公式] 的作用顺序,同时也改变了结果中元素在矩阵中的位置。也就是说, [公式] 项本应与 [公式] 项做差,但对换并矢运算中两矢量顺序的结果是使 [公式] 与 [公式] 项做差,即 [公式] ,对应矩阵 [公式] 。

由此可以看出 [公式] 与 [公式] 的不同。

用一个转置可以得到 [公式] ,

这样 [公式] 。

注意这里的转置只变换元素 [公式] 在并矢矩阵中的顺序,而不会使元素 [公式] 变为对应的转置算符 [公式] .

如果 [公式] ,[公式] [公式] 可以用矩阵表示,那么它们的分量形式为 [公式] ,[公式] , [公式] [公式] 为态矢空间的一组基底。 [公式]

[公式]

[公式]

可以看出这种转置是对下标 [公式] ,[公式] 进行的,而不对换算符内部的指标 [公式], [公式] ,即不会转置算符本身。

如果 [公式] 这种形式如果要运用到计算中可以直接看做为 [公式] 。实际上这也就是 [公式] 的分量形式。

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