转载自:关于矢量算符及其对易子的计算 – 知乎 (zhihu.com)


昨天看到

 的:東雲正樹:矢量算符的对易子中的乘积究竟是什么运算? 我对文中所讲有一些不同的看法。

一、矢量算符

关于矢量算符,引用Brian C. Hall的书《Quantum Theory for Mathematicians》401页给出的一个定义(当然也可以等价的用其他方式定义):

三元组 [公式] 整体被叫做矢量算符。那么按定义 [公式] 是一个矢量算符,因为角动量有性质比如: [公式]

就好像一个矢量在绕 [公式] 轴旋转:

[公式]

这反映了矢量算符“像一个矢量一样变化”的性质。但在具体的量子力学中运算的矢量算符又有多一种含义,比如所谓动量的矢量算符:

[公式]

作用在波函数上: [公式]

但右式的结果是一个矢量,可希尔伯特空间 [公式] 中的元素是函数, 如果一个算符被称作是[公式] 上的算符,那应该是映射 [公式] ,但 [公式] 却是映射 [公式] ,也就是说 [公式] 根本不是通常的算符。再看括号,记希尔伯特空间 [公式] 上的全部[公式]的算符的集合为 [公式] ,那么:

[公式]

由于 [公式] 不是 [公式] 上的算符,所以自然不能放在括号中运算,或者说带有包含矢量算符的对易子运算是无意义也是非法的;这从另一个角度也可以看出,像 [公式] 这样的算符之间没有定义映射的复合关系。

二、矢量算符的运算

但又不能简单的否定量子力学书中一贯行之有效的操作,如果现在我们形式的写下:

[公式]

我们可以形式地定义下面三种运算:

[公式]

这只是形式的记号,或者以第二个式子为例子,如果一个算符被形式的写成:

[公式]

那这个式子的本质其实反映的是三个新的算符 [公式] 、 [公式] 、 [公式] ,他们等于:

[公式]

对于括号运算 [公式] 而言,由于 [公式] 不是 [公式] 上的算符,所以自然不能放在括号中运算,但作为一种形式的记号,当把 [公式] 放在括号中运算时,全部对易关系式必须按照分量来理解,比如:

[公式]

应该理解为是三个关系式

[公式]

的总体现,并且在这个意义下,可以定义一个全新的关系:

[公式]

这不是由对易关系计算出来的,而是定义出来的新关系。那么对易式子:

[公式]

也只不过是分量

[公式]

的反映,他的最终结果也无法计算,只能通过人为定义的方式,但有一种好像形式上看起来可以的方法就是挂一个波函数在后面运算,可关键在于矢量算符 [公式] 与 [公式] 上的算符 [公式] 间映射的复合关系是没有定义的,对于 [公式] 而言:

[公式]

这一套方法失效了,对于 [公式] 而言:

[公式] 可没有理由认为 [公式] 与 [公式] 与 [公式] 之间的运算关系是这样,如果想在 [公式] 的计算中运用 [公式] 这个形式的结论,就必须规定形式的有 [公式] 。

但括号 [公式] 好像又可以这么算: [公式]

这其实默认定义了一种新的运算:

[公式]

如果这样定义矢量算符和标量算符之间的运算,那么这既反映了分量之间的对易关系,又得到和书中一样的结果。究其原因,还是因为括号 [公式] 对矢量算符没有定义,而一种特殊情况:

[公式]

可以按上述计算方法定义一种本质上是全新的并且逻辑自洽的计算方式,而

[公式]

是无法被良定义的,所以 [公式] 是没有结果的(如果如正樹文中所写,认为此时矢量算符对易子中的乘积是张量积,那么被作用的波函数势必是一个三分量的,这当然是不对的)。这一点从无论是各种习题集还是教科书中都可以看出,他们中从来只出现第一种括号的计算方式,而没有出现过第二种括号的计算方式。再看樱井书中的式子:

[公式]

是符合这种定义下的运算规则的。

喀兴林书上一道习题中给出了另一个定义:

这个与上述的定义方式不矛盾,因为此时 [公式] 、 [公式] 算符是处在不同的空间中的,并且此时算符的直积也与正樹文中所定义的不同。

矢量算符与 [公式] 中矢量的运算在上述Hall的定义中就给出,并且赋予了新的物理意义,比如 [公式] 被认为是 [公式] 方向上的角动量算符。

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