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我在数学书中看到散度和旋度的时候,如果不结合物理来理解这两个数学公式的话,不过是平平无奇的曲线积分、曲面积分的一个应用而已。数学书上提到这两个公式的目的应该也是为了加深对曲线积分、曲面积分的理解。

有句名言怎么说的来着:

数学没有物理是瞎子,物理没有数学是跛子

下面就让我们结合物理来理解下散度和旋度。我是学数学的并非学物理的,我之后涉及的物理知识很可能是非常直觉的、不严格的,望大家多多包涵。

1 通量与散度

要理解散度,先要理解通量。

1.1 通量

通量简单来说,就是单位时间内通过的某个曲面的量。

1.1.1 太阳辐射与通量

听起来有点抽象,我们举个例子:

我们都知道,人类离不开太阳。因为每时每刻我们都在接收太阳带给我们的能量。那太阳每秒钟到底会向外辐射多少能量呢?

一种比较直观的办法,就是计算到底有多少能量通过太阳的表面。什么意思呢?

这个有着耀眼光芒的就是太阳:

为了方便观看,我们只看它在二维平面上的投影图,这并不影响我们的讨论:

太阳每时每刻都在向外辐射能量。

沿着太阳表面,作一条封闭曲线(其实是封闭的曲面,因为太阳实际上是一个球体):

粗略来说,我们把曲面上的 [公式] 给加起来就是通过此曲面的通量。

但是这里有个细节问题, [公式] 在曲面上的不同的点的方向是不一样的,我们应该怎么相加?

1.1.2 [公式]的方向

这里用太阳辐射的模型不太好说明,我们换一个模型来描述。

我有一间房子,请无视我的灵魂画法:

为了方便数学建模,我把它表示为一个多边形:

屋外下着垂直于地面的雨滴:

如果屋顶有一个天窗忘了关,地面就会有一滩水渍:

如果是侧面的屋顶有同样大小的天窗忘了关,地上的水渍就会小一些:

如果是在垂直的墙壁上的窗户忘了关,可以想见,地上是不会有水渍的。

可以观察到,水渍在雨水和窗户垂直的时候取到最大值,相切的时候取到最小值。在中间的时候水渍的大小是窗户在与雨水垂直方向的投影。

所以我们只需要关注 [公式] 垂直于曲面的分量就可以了:

1.1.3 小结

根据上面所述,通量就是把曲面上的[公式]通过积分积起来。

我们很容易推出,对于曲面 [公式] ,它的通量为:

[公式]1.2 散度

实际上还有一种计算太阳表面辐射的办法,只是这个办法有点局限性,如果我们计算的表面不封闭的话就不能用,比如下面这样只计算一半的曲面的通量的话就不能使用:

为什么不能用?你看了后面的讲解就可以知道了。

我们知道,其实太阳之所以会产生辐射,是因为太阳内部随时都在发生核聚变。

当然了,每时每刻有许许多多的点都在发生核聚变。

粗略地说,因为我们要计算整个太阳表面的辐射,每个点核聚变产生的辐射最终都会穿过太阳表面,因此我们把每个点的辐射加起来就可以得到太阳的表面辐射,即通量了。

当然,如果我们像之前说的一样只计算太阳一半的表面辐射的话,那么我刚才说的就不成立了。

为了通过这个思想来计算通量,我们就需要知道每个点的辐射强度(这其实就是高斯公式了),那么如何计算每一点的辐射强度呢?

根据微积分的基本思想,把将之前的封闭曲面缩小到极限为0,即几乎和辐射点重合时,用此时的通量,除以封闭曲面所围体积,就能得到此点的强度:

而此点的辐射强度就是散度

所以散度的公式我们也很好推导,假设要求在向量场 [公式] 中 [公式] 点的散度:

[公式]其中, [公式] 为封闭曲面 [公式] 围成的区域, [公式] 为 [公式] 的体积。

1.3 散度以及通量的符号

介于散度和通量的关系,所以下面就只介绍散度的符号,通量是一样的道理。

比如对于太阳中正在进行核聚变的点:

太阳中,有些点并不产生核聚变(有可能此点是真空),辐射只是经过此点:

而黑洞,能量进去了就不会出来,那么它的散度就为负。

好了,以后说“正能量”,可以文艺点说,“散度为正”。

2 环流量与旋度

环流量、旋度和通量、散度挺像的,下面的讲解就比较简略了,可以对比理解。

中国有句名言叫”水能载舟,亦能覆舟”。描述的是水的威力。

不过水不仅能使船上下颠簸,而且还能让船旋转。

为了描述旋转,我们就有了环流量和旋度

2.1 环流量

环流量简单来说,就是单位时间内环绕的某个曲线的量。

我下面描述的都是在二维向量场中的情况,三维向量场中的情况类似,但是要更复杂一些。

比如,这是一汪湖水,其中箭头所指方向为水流方向,长短为水流的力量大小:

要计算一艘船在水流中受到多少旋转的力,就把这艘船丢到水里去。

船的轮廓曲线抽象为封闭曲线,我们称为 [公式] :

单位时间内,这艘船在水场中受到旋转的力就称为环流量。

对于一个圆,我们可以比较直观的感受到:

所以和通量类似的,我们只需要切线方向的力:

因此整个环流量的表达式为:

[公式]2.2 旋度

类似于通量,我们也可以把各个点环流量的强度加起来,得到环流量。

而通过不断缩小封闭区域就可以得到环流量的强度,即旋度:

我们也很容易推出此点旋度, [公式] 点的旋度表达式为:

[公式]其中,[公式] 为封闭曲面 [公式] 围成的区域, [公式] 为 [公式] 的面积。

当然,旋度还有方向,下面再解释一下方向。

2.3 方向

旋转都是有方向的,那么封闭曲线是顺时针还是逆时针旋转呢?

先看看什么是右手定则:

大拇指所指方向为旋度的方向,知道大拇指的方向就知道封闭曲线是顺时针还是逆时针旋转了。

维基百科上有一幅图特别直观,一架农业飞机翼尖激起的气流。烟雾成顺时针或逆时针方向运动,对应的旋度在飞机前行的方向上:

 

3 总结

通过物理来理解这四个概念还是比较容易的。

  • 通量是单位时间内通过的某个曲面的量
  • 散度是通量强度
  • 环流量是单位时间内环绕的某个曲线的量
  • 旋度是环流量强度

其实,这些概念本来就是在物理学领域产生的,物理学家发明完了之后,就问数学家,“您看怎么计算?”

数学家翻一翻白眼,你知不知道这得死多少脑细胞!!

为了计算这些,又吭哧吭哧的发展出了各种曲线、曲面积分,格林、高斯、斯托克斯等公式。哎,收拾残局的总是数学家。

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